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微分積分学および演習Ⅰ Calculus Ⅰ
工学部・未来科学部 1年
EC・FI 科 (火曜4限・金曜3限)
担当: 原 隆
火曜日, 金曜日共に 2号館 2602教室
講義内容 (シラバスより):
ニュートンとライプニッツにより創始され、その後さまざまな数学者によって築かれてきた微分積分学（解析学ともいう）は自然科学の基礎であり、この300年間の科学技術の発展を支えてきた。したがって、微分積分学は諸君が工学を学んでいくために欠かせない基礎知識である。
この講義では、高校で学んだ内容に引き続いて１変数関数の微分積分を学ぶ。
標準クラス（週２回開講）は、高校の数学Ⅲで複素数平面、三角関数、指数・対数関数の微分積分を学んだ者を主な対象とする。
教科書: 石原繁・浅野重初著『理工系入門 微分積分』 裳華房
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。
- 7月31日 (金)
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- 2014年7月14日 (火), 7月17日 (金)
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休講
- 2014年7月21日 (火)
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- 実数論入門 (続)
- 関数の極限と連続性
- 関数の連続性の定義 — ε-δ 論法
- 中間値の定理とその証明
- 参考資料4 (極限や連続性の厳密な扱いについての補足)
- 2014年7月10日 (金)
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- 実数論入門
- 実数の連続性
- デデキントの切断公理: 「数直線には切れ目がない」
- 上界，上に有界，上限の定義
- 上限の存在定理とその証明
- 2015年7月7日 (火)
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- 積分法 (続)
- 広義積分: 計算例
- 問題演習: 広義積分 問題10-2. (7) まで解説
- 2015年7月3日 (金)
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- 積分法 (続)
- 有理関数の積分: 問題10-1. 残りの解説
- 広義積分: 広義積分の定義
- 本講義の成績評価について
- 参考資料3 (有理関数の積分手順について)
- 2015年6月30日 (火)
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- 積分法 (続)
- 有理関数の積分: 有理関数の部分分数分解
- 問題演習: 有理関数の積分 問題10-1. (5) まで解説
- 演習問題10 および 略解 (講義内問題演習用)
- 2015年6月26日 (金)
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- 積分法 (続)
- 図形の求積Ⅱ: 回転体の体積 問題9-2. (5) まで解説
- くり抜き型、y軸まわりの回転体とバウムクーヘン分割
- 2015年6月23日 (火)
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- 積分法 (続)
- 図形の求積Ⅰ: グラフの面積 問題9-1. (5) まで解説
- 演習問題9 および 略解 (講義内問題演習用)
- 2015年6月19日 (金)
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- 積分法 (続)
- 部分積分法と置換積分法: 問題7-2
- 定積分の計算: 問題7-3. (4) まで解説
- 演習問題8 および 略解 (レポート問題, 7/6 (金) 締切)
- 2015年6月16日 (火)
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- 積分法 (続)
- 不定積分の計算: 問題7-1
- 部分積分法と置換積分法
- 演習問題7 (講義内問題演習用)
- 2015年6月12日 (金)
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- 積分法 (続)
- 定積分の定義 (続)
- 微分積分学の基本定理
- 微分積分学の基本定理 Ⅰ 「面積の関数は原始関数」
- 原始関数の差が定数であること
- 微分積分学の基本定理 Ⅱ 「定積分は原始関数の値の差」
- 不定積分の定義
- 微分積分学の基本定理の証明
- 2015年6月9日 (火)
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- 積分法
- アルキメデスの求積法: “細かく分割して微小面積を足し合わせる”
- 定積分の定義
- 2015年6月5日 (金)
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- 複素数と複素平面 (続)
- フェルマーの2平方和定理 – 素数はいつ平方数の和で表されるか?
- ガウスの整数
- ガウスの整数の定義
- ガウルの整数のノルムと単数
- ガウスの素数とその分布
- フェルマーの2平方和定理との関係: 素数が「さらに分解される」ための条件
- フェルマーの最終定理
- フェルマーの最終定理
- n=2 の場合 – ピタゴラス数
- 「素因数分解の一意性」の崩壊 — 代数的整数論の時代へ
- 参考資料2
- 2015年6月2日 (火)
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- 複素数と複素平面
- 複素指数関数
- 複素指数関数の定義
- 複素指数法則 参考資料1 (複素指数法則の証明について)
- オイラーの公式
- オイラーの公式: 「指数関数」と「三角関数」は複素数の世界では「兄弟」
- オイラーの等式 eiπ+1=0
- オイラーの公式の証明: マクローリン展開の応用として
- オイラーの公式 (と複素指数法則) の応用
- ド・モアヴル (de Moivre) の定理 (=複素指数法則)
- 複素数の極形式の掛け算と複素指数法則
- 応用: 倍角の公式と複素指数法則
- 演習問題6 および 略解 (レポート問題, 締切は 6/26(金))
- 2015年5月29日 (金)
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- Taylor の定理と関数の羃級数展開 (続)
- 不定形の極限
- 問題演習 — 不定形の極限: 問題5-3. 残りの解説
- 問題演習 — 関数の増減・凹凸とグラフの概形: 問題5-4
- 2015年5月26日 (火)
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- Taylor の定理と関数の羃級数展開 (続)
- 不定形の極限
- コーシー (Cauchy) の平均値の定理
- ド・ロピタル (de l'Hospital) の定理
- 不定形の極限の解法: マクローリン展開を用いる方法、ド・ロピタルの定理の利用
- 問題演習 — 不定形の極限: 問題5-3. (1), (2), (3) まで解説
- 2015年5月22日 (金)
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- Taylor の定理と関数の羃級数展開 (続)
- テイラーの近似定理と関数のテイラー展開 (続)
- 色々な関数のマクローリン展開 (続): 問題演習
問題5-1 (7), (8), (9) の解説
- テイラーの近似定理と関数の近似値: 問題演習5-2
- 2015年5月19日 (火)
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- Taylor の定理と関数の羃級数展開 (続)
- テイラーの近似定理と関数のテイラー展開 (続)
- 色々な関数のマクローリン展開: 問題演習
問題5-1 (1)—(6) まで解説
- 演習問題5 (講義内問題演習用)
- 2015年5月15日 (金)
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- Taylor の定理と関数の羃級数展開 (続)
- テイラーの近似定理と関数のテイラー展開
- テイラー (Taylor) の近似定理とその証明
- テイラー級数の収束性条件: 剰余項が0に収束するかどうか
- 無限階微分可能だが解析的でない (テイラー展開できない) 関数について: 演習問題4-2. の概説
- デモンストレーション: cos(x), (1+x)^(1/2) のマクローリン展開の収束性
- 2015年5月11日 (火)
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- Taylor の定理と関数の羃級数展開 (続)
- ロルの定理と平均値の定理
- 連続関数の最大値・最小値の原理 (証明は実数の連続性の公理を用いるので割愛)
- ロル (Rolle) の定理とその証明
- (ラグランジェ Lagrange の) 平均値の定理とその証明
- 2015年5月8日 (金)
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- Taylor の定理と関数の羃級数展開 (続)
- 展開級数と微分係数 (復習)
- 「多項式関数」の制限を外してみると……? 指数関数を例に
- 問題演習: 基本的な関数のマクローリン展開
- 関数の羃級数展開を考える利点について 微積分の計算が簡単、性質が分かり易いなど
- 演習問題4および略解 (講義内問題演習用)
- 参考資料: 基本的な関数のマクローリン展開について ※ 丸暗記 すること!!!!!!
- 2015年5月1日 (金)
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- 微分法 (続)
- 高階微分: 1階微分可能だが2階微分不可能な関数について
- Taylor の定理と関数の羃級数展開
- 展開級数と微分係数: 多項式の展開係数と微分法の関係について
- 演習問題3および略解 (レポート問題, 締切は 5/15 (金))
- 2015年4月28日 (火)
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- 微分法 (続)
- 逆三角関数の微分法: 問題演習及び解説 (問題2-3)
- 高階微分: 高階導関数及び無限階微分可能関数の定義
- 2015年4月24日 (金)
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- 微分法 (続)
- 1次近似としての微分係数
- 「微分可能ならば連続」:1次近似の応用として
- 連続ではあるが微分可能ではない関数 :問題2-2.
- 微分法の重要公式 (その2) — 逆関数の微分法 (例として対数関数の微分)
- 逆三角関数の微分法: 範囲に気を付けて符号を決める
- 2015年4月21日 (火)
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- 微分法 (続)
- 微分法の重要公式 (その1) — 積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法
- 問題演習: 色々な関数の微分 2-1 (4) – (12)
- 2015年4月17日 (金)
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- 関数の極限と連続性
- 関数の極限、連続性の定義
- 連続でない関数の例
- 連続関数の中間値の定理
- 微分法
- 微分係数、導関数の定義
- 問題演習: 色々な関数の微分 2-1 (1) – (3)
- 演習問題2 (講義内問題演習用)
- 2015年4月14日 (火)
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- 色々な関数 (続き)
- 逆三角関数: 逆正弦関数, 逆余弦関数, 逆正接関数
- 逆三角関数の値の求め方
- 数列の極限
- 数列の極限の定義
- 余談: 「限りなく大きくなる」「限りなく近づく」という表現について — ε-N論法が考え出された背景
- 無限級数の (収束性の) 定義
- 演習問題1 および 略解 (レポート問題, 締切は 4/28 (火))
- 2015年4月10日 (金)
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- 色々な関数 (続き)
- 定義域と値域 (復習)
- 合成関数
- 単射関数と単調関数、単射であっても単調でない関数の例
- 逆関数
- 逆三角関数: 逆正弦関数 — 「範囲を換えると逆関数の様子が大きく異なる!」
- 2015年4月7日 (火)
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講義日程
1EC・FI科 (UNIPA も参照のこと)
4月 7日, 10日, 14日, 17日, 21日, 24日, 28日
5月 1日, 5日 (こどもの日), 8日, 12日, 15日, 19日, 22日, 26日, 29日
6月 2日, 5日, 9日, 12日, 16日, 19日, 23日, 26日, 30日
7月 3日, 7日, 10日, 14日, 17日, 21日, (24日), (28日)