フーリエ解析   Fourier Analysis

工学部2 年
ES 科 (火曜3限)

担当: 原 隆

場所: 2号館2602教室

講義内容 (シラバスより):
「周期関数を三角関数の無限和で表現する」というジョゼフ・フーリエの画期的なアイデアに端を発するフーリエ解析は、その後様々な形で改良され、現在では信号処理や画像解析など工学系所分野に於ける数学的手法として必要不可欠なものとなっている。

本講義では、フーリエ級数およびフーリエ変換・フーリエ積分の基礎事項および偏微分方程式への応用について解説する。　

教科書: 数学教育研究会 編『フーリエ解析と偏微分方程式 第２版』（東京電機大学出版局）

参考書: (以下の 1, 2 を教科書として用いても良い)

1. 畑上到著『工学基礎 フーリエ解析とその応用 [新訂版]』(数理工学社)
2. 壁谷喜継著『フーリエ解析と偏微分方程式入門』 (共立出版)
3. E. クライツィグ著『フーリエ解析と偏微分方程式』(培風館)
4. トランスナショナル・カレッジ・オブ・レックス編『フーリエの冒険』(ヒッポファミリークラブ)

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

お知らせ / 更新履歴

• 今年度の講義はすべて終了しました。半年間お疲れ様でした。
• 答案の返却は1月28日(木) 午後以降 40903A室にて受け付けます

講義内容

2016年1月26日 (火)

• 学期末考査   問題 略解
  速報 12名受験   S:6名 A:2名 B:2名 C:2名 D:0名 3名放棄
      (今回受験された方は全員単位を取得しております)
  ※ 試験中に告知した問題訂正は赤字で直してあります。あと、第9問はもちろん「初等整数論を学んで」ではなく「フーリエ解析を学んで」でしたね。完全に使い回しがばれてしまいました。すみません。
  また、略解で第6問 (3) の答えも抜けていたので補充しました。
• 採点講評およびアンケートの自由解答欄へのコメント

答案の返却は1月28日(木) 午後以降 40903A室にて受け付けます
基本的に平日のみ / 1月29日 (金) は 14:40—15:00 か 18:30— のみ
いつも在室しているとは限らないので、事前にメールでアポイントを取ることをお奨めします。

2016年1月19日 (火)

• 偏微分方程式への応用
  • 熱伝導方程式 (続)
    • 熱伝導方程式の初期値境界値問題
    • 変数分離法による u(x,t)=X(x)T(t) の形の解の導出
    • 境界値条件による基本解の導出
    • 初期値条件とフーリエ級数展開
  • 波動方程式
    • 波動方程式の初期値境界値問題
    • 変数分離法による u(x,t)=X(x)T(t) の形の解の導出
    • 境界値条件による基本解の導出
    • 初期値条件とフーリエ級数展開
  • グラフィクスによる観察
    熱伝導方程式の解と波動方程式の解の触る舞いの違いについて
• 小テスト11       問題   解答
  7名受験   平均点:4.43点/7+3点   最高点: 10点 (2名)

2016年1月12日 (火)

• 偏微分方程式への応用
  • 熱伝導方程式
    • 熱伝導方程式の初期値境界値問題
    • 変数分離法による u(x,t)=X(x)T(t) の形の解の導出
    • 境界値条件による基本解の導出
    • 初期値条件とフーリエ級数展開
    ※ 問題の設定に若干不備がありましたので、次回やり直します。本当に申し訳ありません。
• 演習問題6 (問題6-1., 6-2. を差し替えました)
• 小テスト10       問題   解答
  7名受験   平均点:2.43点/8点   最高点: 5点 (1名)

2015年12月15日 (火)

• フーリエ変換とその性質 (続)
  • フーリエ変換の性質 (続)
    • 畳み込み積とフーリエ変換
      • 絶対可積分関数の畳み込み積の定義と例
      • 畳み込み積のフーリエ変換はフーリエ変換の積
      • 計算例と証明： 積分の順序交換
    • プランシェレルの等式
      • プランシェレルの等式 — パーセヴァルの等式のフーリエ変換版
      • 証明の概略: 畳み込み定理の応用として (後日プリント等で補足します)
• 演習問題5 (関数のフーリエ変換)
• 小テスト9       問題   解答
  11名受験   平均点:1.45点/8点   最高点: 5点 (2名)

2015年12月15日 (火)

• フーリエ変換とその性質 (続)
  • フーリエ積分公式とフーリエ変換 (続)
    • フーリエ変換とフーリエ逆変換の復習
  • フーリエ変換の性質
    • フーリエ積分公式 (復習)
    • フーリエ変換の線形性
    • 微分との関係
      • 関数の微分のフーリエ変換は iξ 倍
      • 応用例: 常微分方程式の特殊解の導出
      • 証明の概略: 部分積分の利用
  • 本講義の成績評価について
• 小テスト8       問題   解答
  10名受験   平均点:3.40点/8点   最高点: 8点 (3名)

2015年12月8日 (火)

• フーリエ変換とその性質
  • フーリエ積分公式とフーリエ変換
    • フーリエ積分公式の導出: 区分求積法を使って書き換える
    • 絶対可積分関数の定義
    • フーリエ変換、フーリエ逆変換の定義
    • フーリエ変換の意味: 「指定された周波数の波の成分がどれだけ含まれているか」を表す関数
• 小テスト7       問題   解答
  13名受験   平均点:3.23点/8点   最高点: 7点 (1名)

2015年12月1日 (火)

休講

2015年11月24日 (火)

• 周期関数のフーリエ級数展開 (続)
  • フーリエ級数の収束   参考資料1
    • 三角多項式の積分表示とディリクレ積分核
    • ディリクレ積分核の性質
    • リーマン-ルベーグの補題の適用
  • ギブス現象 Gibbs' effect
    • 関数の不連続点とギブス現象
    • ギブス現象によるノイズの大きさの評価 (鋸波の場合)
• 小テスト6       問題   解答
  13名受験   平均点:4.23点/9点   最高点: 8点 (2名)

2015年11月17日 (火)

• 周期関数のフーリエ級数展開 (続)
  • ベッセルの不等式とパーセヴァルの等式
    • 関数の内積とノルムについての復習
    • ベッセルの不等式 — f=f-S_n+S_n にピタゴラスの定理を用いる
    • パーセヴァルの等式
    • パーセヴァルの等式を用いた級数の計算 (オイラーの関係式)
    • ベッセルの不等式の応用: リーマン-ルベーグの補題
• 演習問題4 (ベッセルの不等式とパーセヴァルの等式)
• 小テスト5       問題   解答
  11名受験   平均点:2.55点/8点   最高点: 8点 (1名)

2015年11月10日 (火)

• 周期関数のフーリエ級数展開 (続)
  • 関数空間の内積とノルム
    • [-π,π]上の関数の内積、ノルム、直交性の定義
    • 内積の性質 — 特に双線形性について
    • 三角関数の直交性、フーリエ係数の内積による言い換え
    • 内積空間に於けるピタゴラスの定理
  • 関数の三角多項式近似とフーリエ係数
    • 関数の三角多項式近似とは?
    • 平均二乗誤差の定義
    • 三角多項式の係数がフーリエ係数のときに平均二乗誤差が最小になる
    • 証明: ピタゴラスの定理を用いて
• 小テスト4       問題   解答
  11名受験   平均点:5.09点/8点   最高点: 8点 (2名)

2015年11月3日 (火)

休校日 (文化の火)

2015年10月27日 (火)

• 周期関数のフーリエ級数展開 (続)
  • 複素フーリエ級数展開
    • オイラーの公式と複素指数関数
    • 複素指数関数によるフーリエ級数展開の書き替え
    • 複素指数関数の直交性と複素フーリエ係数の計算法
    • 例: 指数関数の場合
  • フーリエ級数の収束性
    • 区分的連続関数の定義
    • フーリエ級数の収束性定理
• 演習問題3
  ※ 問題3-1. の問題文を修正しました。
  詳細はリンク先を参照。ご迷惑をおかけしてすみません。
• 小テスト3       問題   解答 (Oct. 28 追加)
  12名受験   平均点:5.00点/8点   最高点: 8点 (2名)

2015年10月20日 (火)

• 周期関数のフーリエ級数展開 (続)
  • 周期 2π の場合 (続)
    • フーリエ余弦級数展開、フーリエ正弦級数展開
      • 関数の偶関数拡張と奇関数拡張
      • フーリエ余弦級数展開、フーリエ正弦級数展開の定義と例
  • 周期 2L の場合
    • 周期 2L の周期関数のフーリエ級数展開
    • 例および問題演習
• 小テスト2       問題   解答
  14名受験   平均点:4.36点/7点   最高点:7点 (3名)

2015年10月13日 (火)

• 周期関数のフーリエ級数展開 (続)
  • 周期 2π の場合 (続)
    • 演習問題: 角型パルス波のフーリエ級数展開
    • 偶関数、奇関数のフーリエ係数について
    • フーリエ余弦級数展開、フーリエ正弦級数展開
• 演習問題2 (Oct. 15 解答を追加)
  ※ 問題2-2. の問題文に条件の追加をしました。
  詳細はリンク先を参照。ご迷惑をおかけしてすみません。
• 小テスト1       問題   解答
  14名受験   平均点:6.0点/8点   最高点:8点 (2名)

2015年10月6日 (火)

• 周期関数のフーリエ級数展開
  • 周期関数、偶関数、奇関数
  • 三角関数の直交性
    • 三角関数の直交性
    • 証明の概略: 積和の公式の利用
  • 周期 2π の場合
    • 三角関数の直交性に基づいたフーリエ係数の計算方法
    • 例: 鋸波のフーリエ級数展開
• 演習問題1 (Oct.7. 解答を追加)

2015年9月29日 (火)

休講

2015年9月29日 (火)   休講 とします
なお、小テストは 10月13日 (第3回の講義) から (講義開始時に) 実施予定です。

2015年9月15日 (火)

• フーリエ解析とはどのような学問か?
  • マクローリン-テイラー展開とフーリエ級数: 「三角関数を用いた無限級数」
  • フーリエ級数が表す関数の例
    • 角型パルス波のフーリエ級数の部分和とその収束先のグラフ

      部分和のグラフ	収束先 (角型パルス波)

    • 鋸波のフーリエ級数の部分和とその収束先のグラフ

      部分和のグラフ	収束先 (鋸波)

    • 方型パルス波のフーリエ級数の部分和とその収束先のグラフ

      部分和のグラフ	収束先 (方型パルス波)

    鋸波、方型パルス波のフーリエ級数のグラフでは、(第一種) 不連続点の周囲でギブス現象 (ノイズ) が発生していることが確認出来る。
  • フーリエ解析の起源: 波動方程式の初期値境界値問題 (後程また扱います)
• ガイダンス，配布資料

講義日程

1EK・1EF科   (UNIPA も参照のこと)

9月   15日, 22日 (国民の休日 / 休校日), 29日 (休講)
10月   6日, 13日, 20日, 27日
11月   3日 (文化の日 / 休校日), 10日, 17日, 24日
12月   1日 (休講), 8日, 15日, 22日, 29日 (冬季休校)
1月   5日 (冬季休校), 12日, 19日, (26日)