ベクトル解析   Vector Calculus

工学部・未来科学部 2年
FR 科 (月曜4限)
EH 科 (水曜1限)

担当: 原 隆

場所: FR科 2号館2702教室,   EH科 2号館2501教室

講義内容 (シラバスより):
　ベクトル解析とは、ベクトル値関数 (ベクトル場) の微分積分を扱う数学の一分野であり、工学や物理学に於いて自然現象を記述するための数学的手段として最早必要不可欠なものとなっている。
　この講義では、1年次に学んだ数学 (微分積分学、線形代数学) の内容を踏まえ、応用する力を養うことも目指しつつ、ベクトル解析の基礎を学ぶ。

教科書: 國分雅敏著『ベクトル解析入門』東京電機大学出版会

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。

更新は概ね EH 科の講義 (水曜1限) 終了後となります。また、演習問題の略解はレポート提出締切後に順次アップします。

2014年7月21日 (月), 7月23日 (水)

• 学力考査
  • 学力考査試験問題 (2FR用)
  • 学力考査試験問題 (2EH用)

半年間お疲れさまでした。採点後講評を載せる………かもしれません。期待しないで待ってて下さい。

2014年7月14日 (月), 7月16日 (水)

• 微分形式の幾何学 (続)
  • 一般化ストークスの定理についての補足
  • ポテンシャルとポアンカレの補題 – ポテンシャルはいつ存在するか?
• 物理学への応用
  • マクスウェルの方程式と積分定理
  • マクスウェルの方程式と微分形式   マクスウェル方程式を4次元空間の2次微分形式を用いて表す (発展)
• 補足プリント3 (ポアンカレの補題について)
• 補足プリント4 (マクスウェルの方程式と積分定理について)

2014年7月7日 (月), 7月9日 (水)

• 微分形式の幾何学
  • 一次微分形式の定義と例
  • 微分形式のウェッジ積とその計算例
  • 微分形式の外微分
  • 微分形式の積分と一般化ストークスの定理
• 演習問題13および略解

2014年6月30日 (月), 7月2日 (水)

• ストークスの定理
  • ストークスの定理の主張
  • ストークスの定理の計算例
  • ストークスの定理の証明の概略
  • 回転ベクトル場の意味: 「単位ベクトル方向の循環密度」
• 演習問題12および略解
  ※ 問題12-2. (1) の問題文が間違っていました。「rot (f grad g)=(rot f) ×(rot g)」ではなく、正しくは「rot (f grad g)=(grad f)×(grad g)」です。お詫びして訂正させていただきます。
• 補足資料2 (学力考査について)

2014年6月23日 (月), 6月25日 (水)

• ガウスの発散定理
  • ガウスの発散定理の主張
  • ガウスの発散定理を用いた閉曲面上の面積分の計算例
  • ガウスの発散定理の意味: 領域内の湧き出しの総和=境界を垂直方向に通過するベクトルの総量
  • ガウスの発散定理の証明の概略
  • ガウスの発散定理の応用: ポアソン方程式の解の一意性
    • ポアソン方程式
    • グリーンの第1公式
    • 「境界で恒等的に0となる調和関数は0」
    • ポアソン方程式の解の一意性
• 演習問題11および略解

2014年6月16日 (月), 6月18日 (水)

• 面積分
  • スカラー場の面積分
    • スカラー場の面積分の定義
    • 曲面のパラメータ表示と面積分の計算方法
  • ベクトル場の面積分
    • ベクトル場と法線ベクトル方向への正射影
    • ベクトル場の面積分の定義
    • 曲面のパラメータ表示と面積分の計算方法
• 演習問題10および略解
  ※ 略解を載せました (7/7)。遅くなってしまい申し訳ありません。

2014年6月9日 (月), 6月11日 (水)

• グリーンの定理 (続)
  • グリーンの定理の計算例、応用
  • グリーンの定理の意味: 領域内での微小な渦の和=境界での渦の総量
  • グリーンの定理の証明の概略
• 面積分
  • 曲面の単位法ベクトル場
  • 曲面の向き付け可能性
  • 向き付け出来ない曲面の例: メービウスの帯
• 演習問題9および略解
  ※ 問題9-3. (1) で ϕ の範囲が -1/2π≤ ϕ ≤ 1/2φ となっていましたが、勿論 -1/2π≤ ϕ ≤ 1/2π の誤植です (上のリンクでは直しておきました)。

2014年6月2日 (月), 6月4日 (水)

• 線積分
  • スカラー場の線積分の補足, 補足資料1
  • ベクトル場の線積分
    • ベクトル場と接線方向への正射影
    • ベクトルの正射影と単位ベクトルとの内積
    • ベクトル場の線積分の定義
    • 曲線のパラメータ表示と線積分の計算方法
• グリーンの定理
  • グリーンの定理の主張
• 演習問題8及び略解

2014年5月26日 (月), 5月28日 (水)

• 空間場の微分演算
  • 空間ベクトル場、空間スカラー場の定義 (復習)
  • 空間スカラー場の勾配ベクトル場、空間ベクトル場の発散スカラー場
  • 空間ベクトル場の回転ベクトル場
  • 演算子 ∇
• 線積分
  • スカラー場の線積分
    • 線積分の定義
    • 曲線のパラメータ表示と線積分の計算方法
• 演習問題7及び略解
  ※ 問題7-1. 問題文の「空間ベクトル場 A:R3→R」は「空間ベクトル場 A:R3→R3」の誤りでした (問題を解く上では影響は全くありません)。上記リンクでは訂正してあります。

2014年5月19日 (月), 5月21日 (水)

• 平面場の微分演算 (続)
  • 平面ベクトル場の発散スカラー場
    • 例
    • 発散の意味: ベクトル場の“湧き出し”
    • ラプラス作用素、調和関数の定義
  • 平面ベクトル場の渦度
    • 定義と例
    • 渦度の意味: ベクトル場が「回転させようとする力」
    • 勾配ベクトル場の渦度は0, 「勾配に渦なし」
• 演習問題6及び略解
  ※ 問題6-1. 問題文の「平面ベクトル場 A:R2→R」は「平面ベクトル場 A:R2→R2」の誤りでした (問題を解く上では影響は全くありません)。上記リンクでは訂正してあります。

2014年5月12日 (月), 5月14日 (水)

• 平面場の微分演算
  • 平面ベクトル場・平面スカラー場の定義 (再)
  • 平面スカラー場の図示: 等高線
  • 平面スカラー場の方向微分
  • 平面スカラー場の勾配ベクトル場
  • 平面ベクトル場の発散スカラー場 (定義のみ / 詳細は次週)
• 演習問題5及び略解
  

2014年4月28日 (月), 4月30日 (水)

• 曲面のパラメータ表示
  • 曲面のパラメータ表示の定義 (再)
  • 曲面のパラメータ表示の例: 2変数関数のグラフ、球面、回転トーラス、常螺旋面 (ヘリコイド)
  • パラメータ表示された曲面の接平面の方程式
  • パラメータ表示された曲面の表面積
• 演習問題4及び略解
  ※ 問題4-2. の常螺線面のパラメータ表示で、z成分が au になっていたのはaθ の誤植でした。お詫びして訂正致します (リンク先では既に修正してあります)。
  特別措置として、レポートの提出期限を1週間延期致します。

2014年4月21日 (月), 4月23日 (水)

• 曲線のパラメータ表示
  • 曲線のパラメータ表示の定義 (再)
  • 曲線のパラメータ表示の例: 楕円、サイクロイド、常螺旋 (ヘリックス)
  • パラメータ表示された曲線の接線の方程式 (特に速度ベクトル=接ベクトル)
  • パラメータ表示された曲線の長さ
  • 曲線の長さの積分は立式出来ても「計算出来る」とは限らない (楕円積分の例など)
• 演習問題3及び略解
  

2014年4月14日 (月), 4月16日 (水)

• ベクトル値関数
  • 1変数ベクトル値関数: 物体の運動，曲線のパラメータ表示
  • 2変数ベクトル値関数: 平面ベクトル場，曲面のパラメータ表示
  • 3変数ベクトル値関数: 空間ベクトル場
  • ベクトル場の図示
  • スカラー場の方向微分 (後日改めて補足説明します)
• 演習問題2及び略解
  ※問題2-2. (2) の問題文で、一箇所 f_y(x₀, y₀, x₀) となっている箇所がありましたが、
  (多くの方が分かっているとは思いますが) f_y(x₀, y₀, z₀) の誤りです。上のリンク先では訂正してあります。

2014年4月7日 (月), 4月9日 (水)

• ガイダンス (ベクトル解析で学ぶこと，最終目標としての3大積分定理)，配布資料
• 空間ベクトル (復習)
  • ベクトルの線形独立性と成分表示の一意性
  • 右手系と左手系
  • ベクトルの内積と外積，3つのベクトルの張る平行六面体の体積
• 演習問題1及び略解
  ※レポートを提出する方は、次回の授業前に教卓に提出して下さい。レポートボックスは設けません

講義日程

2FR科   (UNIPA も参照のこと)

4月   7日, 14日, 21日, 28日
5月   5日 (こどもの日), 12日, 19日, 26日
6月   2日, 9日, 16日, 23日, 30日
7月   7日, 14日, 21日 (海の日 / 授業実施日), (28日)

2EH科   (UNIPA も参照のこと)

4月   9日, 16日, 23日, 30日
5月   7日 (休校日), 14日, 21日, 28日
6月   4日, 11日, 18日, 25日
7月   2日, 9日, 16日, 23日, (30日)