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線形代数学Ⅱ Linear Algebra Ⅱ
工学部・未来科学部 1年
EK・EF 科 (金曜1限)
担当: 原 隆
場所: 2号館2703教室
講義内容 (シラバスより):
線形代数学Ⅱは線形代数学Ⅰの続編であり、３つのテーマ
（1）行列式（2）数ベクトル空間（3）固有値と固有ベクトル
について学ぶ。前期にくらべ、対象がやや抽象的になるが、幾何学的なイメージをもちながら学習することが大切である。
予備知識として、前期に学んだ「線形代数学Ⅰ」の内容を前提とする。
教科書: 東京電機大学 数学系列編『線形代数学Ⅱ』 （暫定版)
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。
更新は概ね講義 (金曜1限) の終了後となります。
補足プリント4の例2の一部に誤植がありましたので赤字で訂正しました。
心からお詫び申しあげます (指摘してくださった方はありがとうございました)
学期末考査は
2015年1月28日 (水) 2限 実施予定 (精確な情報は常にUNIPAを参照すること)
試験の詳細については
こちら を参照してください。
- 2015年1月23日 (金)
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- 固有値と固有ベクトル (続)
- ジョルダン標準形について
- ジョルダン標準形とは何か？ — 対角化不可能な行列もなるべく「簡単な」形に変形する
- 2次正方行列のジョルダン標準形の求め方
- 3次正方行列のジョルダン標準形の求め方 &ndah; 固有空間の次元が 1,2 のとき
- 一般のジョルダン標準形の「定義」
- 補足プリント6 (講義時配布分、ジョルダン標準形の具体的な求め方について)
- 補足プリント6' (未配布、ジョルダン標準形の一般論の概説) ※ 試験範囲には含めません
- 2014年12月19日 (金)
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- 固有値と固有ベクトル (続)
- 行列の対角化
- 対角化の応用: 行列の m 乗
- 対角化を用いた行列の m 乗の計算例
- 対角化の応用: 連立漸化式の解法
- 補足プリント5
- ミニ演習2 及び 略解
- 2014年12月12日 (金)
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- 固有値と固有ベクトル
- 固有値と固有ベクトル
- 固有値、固有ベクトルの定義と例
- 固有値となる条件と特性多項式
- 固有値、固有ベクトルの求め方
- ケーリー-ハミルトンの定理
- ケーリー-ハミルトンの定理の主張
- 2次正方行列の場合 (証明は後日)
- 演習問題5 及び 略解(レポート問題)
※ 12月
5日 (金) は休講
- 2014年11月28日 (金)
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- 数ベクトル空間と線形変換 (続)
- 部分空間 (続)
- 同次連立一次方程式の解空間の次元と基底
- 基底の求め方 – 連立方程式の解を求めれば分かる
- 解空間の次元=n-(係数行列の階数)
- 基底の変換
- 線形変換と行列表示
- 線形変換の定義
- 基底に関する線形変換の行列表示
- 基底を取り換えたときの行列表示の変換公式
- 補足プリント4
11/28 の講義の内容が若干多く、速度も速かったようなので、補足プリントを作りました。次回配布しますが、レポート問題を解く際などの参考にして下さい。
- 2014年11月21日 (金)
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- 数ベクトル空間と線形変換 (続)
- n 次ベクトル空間の基底 (続)
- 任意の数ベクトルは基底の線形結合で一意的に表わされる
- 部分空間
- 部分空間の定義
- 部分空間の例
原点を通る平面及び直線、同次連立一次方程式の解空間
- 部分空間でない空間の例
原点を通らない平面及び直線、球面
- 部分空間は必ず原点を含む
- 部分空間の次元及び基底の定義
- 演習問題4 及び 略解(レポート問題)
- 2014年11月14日 (金)
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- 数ベクトル空間と線形変換 (続)
- ベクトルの線形独立性 (続)
- 線形独立なベクトルの線形結合の係数の一意性 (証明)
- 線形独立性の判定
- 連立方程式の解の個数への帰着
- 線形独立性と対応する行列の階数
- n 次ベクトル空間には、高々 n 個しか線形独立なベクトルはない
- 線形従属なベクトル間の非自明な線形関係の求め方
- n 次数ベクトル空間の基底
- ミニ演習
- 2014年11月7日 (金)
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- 数ベクトル空間と線形変換
- 数ベクトル空間 — 定義と計算規則
- ベクトルの線形独立性
- 線形独立性と線形従属性の定義
- 空間ベクトルの場合
- 線形独立なベクトルの線形結合の係数の一意性 (証明は次回)
- 2014年10月24日 (金)
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- 行列式 (続)
- 行列式の余因子展開
- 余因子展開の応用Ⅰ — 逆行列
- 余因子行列の定義と性質
- 余因子行列と逆行列
- 正方行列が正則行列となるための必要十分条件
- 余因子展開の応用Ⅱ — クラーメルの公式
- 2014年10月17日 (金)
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- 行列式 (続)
- 転置行列の行列式 (続)
- 転置行列の行列式が元の行列の行列式と等しいことの証明
- 行列式の乗法性
- “積の行列式は行列式の積”
- 応用: 逆行列の行列式は元の行列の行列式の逆数
- 行列式の成分表示を用いた証明
- 行列式の余因子展開
- 1列目に関する余因子展開とその証明
- 一般の列に関する余因子展開とその証明
- 補足プリント3 (転置行列の行列式及び行列式の乗法性について)
- 演習問題3 及び 略解 (レポート問題)
- 2014年10月10日 (金)
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- 行列式 (続)
- 三角行列の行列式
上下三角行列の行列式は対角成分の積
- 行列式の計算法
- 計算の戦略: 行列式の基本3性質と基本変形を駆使して三角行列に帰着する
- 行列式の計算法: 問題演習
- 転置行列の行列式
- 転置行列の行列式は元の行列の行列式と等しい
- 基本3性質等の性質は、行の変形に対しても成り立つ
- 2014年10月3日 (金)
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- 行列式 (続)
- 置換 (続)
- 偶置換と奇置換、置換の符号 (復習)
- 多項式への置換の作用 — 「文字の入れ換え」
- Vandermonde の多項式 (差積)
- 置換を互換の積で表した時の互換の個数の偶奇が互換の積での表し方によらないことの証明
- 行列式の成分表示
- 補足プリント1 (一般のn次置換の符号について)
- 演習問題2 及び 略解 (レポート問題)
※ 問題文に誤植がありました。問題2-3. の (1) で示す等式の右辺に登場する行列の最後の列の指数が間違っておりました (n-1乗ではなくn-2乗です)。お詫びして訂正いたします。
なお、上記のリンクでは訂正してあります (訂正箇所を赤字にしておきました)。
- 2014年9月26日 (金)
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- 行列式 (続)
- 置換
- 置換の定義
- 置換の積、恒等置換、逆置換
- 演習問題: 置換の積、逆置換
- 置換を互換の積で表した時の互換の個数の偶奇は、互換の積での表し方によらない (証明は次回?)
- 置換の符号の定義
- 補足プリント2 (2次, 3次行列の基本3性質の証明について)
※ 補足プリント1はまだ配布していません。手違いでプリントの番号が逆になってしまいました。
すみません。
- 2014年9月19日 (金)
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- 行列式 (続)
- 2次行列式の性質 (続)
- 行列式の基本3性質 (多重線形性, 歪対称性, (単位行列の行列式)=1) の復習
- 問題演習: 基本3性質を用いた2次行列式の計算
- 基本3性質の図形的意味 — 証明に代えて
- 3次行列式の性質
- 基本3性質 (多重線形性, 歪対称性, (単位行列の行列式)=1) とその図形的意味
- n 次元への一般化 — 基本3性質による n 次行列式の「定義」
- 演習問題1 及び 略解 (レポート問題)
- 2014年9月12日 (金)
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- ガイダンス，配布資料 (部数が足りなかったようです。次回にも多少印刷して持って行きます)
- 平面ベクトル、空間ベクトルから n 次元ベクトルへ — 数ベクトル空間
- 2次行列式, 3次行列式から n 次行列式へ
- 線形変換と固有ベクトル、行列の対角化について
- 行列式
- 2次行列式の性質 — 多重線形性, 歪対称性, (単位行列の行列式)=1
講義日程
1EK・1EF科 (UNIPA も参照のこと)
9月 12日, 19日, 26日
10月 3日, 10日, 17日, 24日, 31日 (休校日)
11月 7日, 14日, 21日, 28日
12月 5日, 12日, 19日, 26日 (休校日)
1月 2日 (休校日), 9日