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微分積分学および演習Ⅱ Calculus Ⅱ
工学部・未来科学部 1年
EJ・EH・ES 科 (月曜3限・木曜4限)
EC・FI 科 (火曜4限・金曜3限)
担当: 原 隆
場所: 1EJ・1EH・1ES科 … 月曜日, 木曜日共に 2号館2602教室
1EC・1FI科 … 火曜日, 金曜日共に 2号館 2604教室
講義内容 (シラバスより):
ニュートンとライプニッツによって創始され、その後様々な数学者によって築かれてきた微分積分学は、自然科学の基礎であり、この300年間の科学技術の発展を支えてきた。
この講義では前期に学んだ「微分積分学および演習Ⅰ」の内容に引き続き、多変数（特に２変数）関数の微分、積分を学ぶ。
予備知識として前期に学んだ「微分積分学および演習Ⅰ」の内容を前提とする。
教科書: 石原繁・浅野重初著『理工系入門 微分積分』 裳華房
このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。
更新は概ね EJ・EH・ES 科の講義 (月曜3限，木曜4限) の終了後となります。
学期末考査は
2015年1月29日 (木) 2限 実施予定 (精確な情報は常にUNIPAを参照すること)
試験の詳細については
こちら を参照してください。
2015年1月19日 (月), 2015年1月20日(火) 休講とします
- 2015年1月13日 (火), 1月15日 (木)
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- 陰関数定理と条件付き極値問題 (続)
- 条件付き極値問題の応用
- 点と直線の距離の公式 条件付き極値問題の観点から (問題10-2.)
- 自然科学への応用 ラグランジェの解析力学について
- 社会科学への応用 効用最大化問題
- 問題設定 「効用」とは何か？
- 2財の効用最大化問題とラグランジェ未定乗数法 (問題10-3.)
- 2015年1月8日 (木), 1月9日 (金)
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- 陰関数定理と条件付き極値問題 (続)
- 条件付き極値問題 (続)
- ラグランジェの未定乗数法の証明 – 陰関数定理の応用
- 極値の判定法 – 陰関数定理を利用して1変数関数に帰着
- 問題10-1. (2) の解説
- 2014年12月19日 (金), 12月22日 (月)
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- 陰関数定理と条件付き極値問題 (続)
- 条件付き極値問題
- 条件付き極値問題とは
- ラグランジェ関数の定義
- ラグランジェの未定乗数法
- 問題演習: 問題10-1. (1)– (3)
- 演習問題10 及び 略解 (講義中問題演習用)
- 2014年12月16日 (火), 12月18日 (木)
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- 陰関数定理と条件付き極値問題
- 陰関数定理
- 1変数関数と関数のグラフ (復習)
- 関数のグラフとして表されない曲線の例： 円、双曲線、デカルトの葉線、レムニスケート曲線
- 陰関数定理のアイデア: 「点の回り以外の部分の曲線を“消す”」
- 陰関数の定義と陰関数定理の主張
- 応用: 関数のグラフとして表されない曲線の接線の方程式
- 補足プリント3 (陰関数定理の証明について)
- 2014年12月12日 (金), 12月15日 (月)
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- 多変数関数の積分法(続)
- 平面図形の重心とパップス-ギュルダンの定理 (続)
- 質点系の重心 (復習)
- 平面図形の重心の座標の重積分を用いた表し方
- パップス-ギュルダンの定理の証明
- 曲面の表面積
- 曲面の表面積の公式
- 例: 上半球面
- 表面積の公式の導出について: 微小部分の面積を、接ベクトルの張る平行四辺形の面積で近似
- 2014年12月9日 (火), 12月11日 (木)
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- 多変数関数の積分法(続)
- 立体図形の求積 (続)
- 平面図形の重心とパップス-ギュルダンの定理
- 2014年11月27日 (金), 12月8日 (月)
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- 多変数関数の積分法(続)
- 2変数関数の広義積分の応用: ガウス積分 (問題7-2. 解説)
- 立体図形の求積
- 立体図形の体積の求め方
- 例題: 上半球体の体積
- 問題演習: 問題9-1
- 演習問題9 及び 略解 (講義中問題演習用)
※ 12月1日 (月), 2日 (火), 4日 (木), 5日 (金) は休講
- 2014年11月25日 (火), 11月27日 (木)
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- 多変数関数の積分法(続)
- 重積分の変数変換
- 重積分の変数変換: 問題演習 問題7-1.
- 変数変換公式の証明の概略 : ヤコビ行列式の図形的意味
- 演習問題8 及び 略解 (レポート問題)
※ ウォリスの公式の積分区間が間違っていたので、修正しておいて下さい。
- 2014年11月21日 (金), 11月24日 (月)
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- 多変数関数の積分法(続)
- 重積分の変数変換
- 変数変換公式の紹介
- 重積分の変数変換: 問題演習 問題7-1.
- 演習問題7 及び 略解 (問題演習用)
- 2014年11月18日 (火), 11月20日 (木)
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- 多変数関数の積分法(続)
- 重積分と反復積分(続)
- 2重積分の計算: 問題演習 問題6-1.
- 反復積分の順序交換: 問題演習 問題6-2.
- 2014年11月14日 (金), 11月17日 (月)
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- 多変数関数の積分法(続)
- 演習問題6 及び 略解 (問題演習用)
※ 問題文の訂正があります (上記プリントでは赤字で表しました)
- 2014年11月11日 (火), 11月13日 (木)
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- 多変数関数の積分法(続)
- 重積分と反復積分(続)
- 練習問題 (宿題)
- 重積分と反復積分の関係と、その証明の概略
- 重積分の計算例
- 2014年11月7日 (金), 11月10日 (月)
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- 多変数関数の積分法
- 1変数関数の定積分 (復習) — “グラフの面積は微小長方形の面積の和”
- 重積分の定義 — “グラフの体積は微小直方体の体積の和”
- 重積分と反復積分
- 反復積分の定義
- 反復積分の計算例及び練習問題 (宿題)
※ 10月28日 (火) は 講義進行調整日とします。
極値問題で扱った関数のグラフを紹介したのち、質問タイム等とする予定。
※ 旭祭休講後は (1EJEHESクラスは極値問題の続きを行った後) 多変数関数の積分法 に入ります。
(陰関数定理及び条件付き極値問題は後回し)
- 2014年10月28日 (火), 11月6日 (木)
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- 多変数関数の微分法 (続)
- 極値問題 (続)
- 問題演習: 極値問題 問題5-2. (3), (4)、 (5)
- 問題演習で扱った関数のグラフの観察
- 極値判定法の証明の概略 (後日補足プリントを作成する予定)
※ 演習問題5のプリントのうち、講義中に解説しなかったものの解答を
アップしました。下記のリンクから辿って下さい。
- 2014年10月21日 (火), 10月27日 (金)
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- 多変数関数の微分法 (続)
- 極値問題
- 極大値と極小値
- 臨界値、ヘッセ行列、ヘッセ行列式の定義
- 極値問題のためのフローチャート
- 問題演習: 極値問題 問題5-2. (1), (2) の解説
- 2014年10月17日 (金), 10月23日 (木)
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- 多変数関数の微分法 (続)
- 多変数関数のテイラー-マクローリンの定理 (続)
- 補足説明
- 2変数関数のマクローリン展開: 例題
- 問題演習: 2変数関数のマクローリン展開 (問題5-1.)
- 補足プリント2 (2変数関数のテイラー展開について)
- 演習問題5 及び 略解 (講義中問題演習用)
- 2014年10月14日 (火), 10月20日 (月)
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- 多変数関数の微分法 (続)
- 高階偏微分 (続)
- 2階連続偏微分可能関数の偏微分の順序交換可能性の証明
- 多変数関数のテイラー-マクローリンの定理
- 1変数 F(t)=f(x0+tΔx, y0+tΔy) のマクローリン展開への帰着
- 偏微分作用素の定義
- 高階微分係数 F(k)(0) の計算
- 2変数関数のテイラーの定理: 偏微分作用素を用いた定式化
- 2014年10月10日 (金), 10月16日 (木)
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- 多変数関数の微分法 (続)
- 合成関数の微分法 (続)
- 高階偏微分
- 高階導関数の定義, n 階偏導関数が 2n 個あること
- 高階導関数の計算: 問題演習
- n 階連続偏微分可能関数の定義
- 2階連続偏微分可能関数の偏微分の順序交換可能性: 証明は次回
- 演習問題3 および 略解 (レポート問題)
※ 締切を 10/24 (金) (1FIEC), 10/27 (月) (1EJEHES) に変更します。
- 2014年10月7日 (火), 10月13日 (月)
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- 多変数関数の微分法 (続)
- 合成関数の微分法 (続)
- 合成関数の微分法 Ⅱ 及びヤコビ行列の復習
- 問題演習: 問題4-2. (1), (2) の解説
- 合成関数の微分法の証明
※ 講義時間中に解説しなかった問題の略解を作成しました。下のリンクから閲覧出来ます。
- 2014年10月3日 (金), 10月9日 (木)
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- 多変数関数の微分法 (続)
- 2変数関数のグラフ
これまでに扱った2変数関数のグラフをコンピューターグラフィックスを用いて観察した (SageMath=Cocalc を利用)
| | |
| y=x2+y2 のグラフ | y=x2/(x2+y2) のグラフ | y=xy/(x2+y2) のグラフ |
| 回転放物面 |
点 (0,0) で連続でない (極限値を持たない) |
点 (0,0) で偏微分可能だが全微分不可能 |
- 合成関数の微分法
- 合成関数の微分法 Ⅰ : 1変数関数を代入した場合
- 問題演習: 問題4-1. (1), (2) の演習及び解説
- 合成関数の微分法 Ⅱ : 2変数関数を代入した場合
- ヤコビ行列及びヤコビ行列式の定義
- 演習問題4 及び 略解 (問題演習用)
※ 演習問題3はまだ配布していません。手違いでプリントの番号が逆になってしまいました。
すみません。
※ 10月6日 (月) は台風のため休講
補講は行わない方向で検討しております。
- 2014年9月30日 (火), 10月2日 (木)
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- 多変数関数の微分法 (続)
- 1次近似と全微分 (続)
- 問題2-3. 解説 — 偏微分可能でも全微分可能とは限らない
- 連続偏微分可能関数の定義
- 連続偏微分可能ならば全微分可能
- 補足資料 (全微分可能性と偏微分可能性について)
- 2014年9月26日 (金), 9月29日 (月)
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- 多変数関数の微分法 (続)
- 接平面の方程式 (続)
- 演習問題2-2. (接平面の方程式) (3), (4) の解説
- 1次近似と全微分
- 1変数関数の微分可能性と1次近似について (復習)
- 2変数関数の全微分可能性の定義
- 全微分可能性と1次近似、接平面
- 問題演習: 全微分の計算
- 全微分可能な関数は連続
- 偏微分可能でも全微分可能とは限らない (詳細は次回)
- 2014年9月23日 (火), 9月25日 (木)
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- 多変数関数の微分法 (続)
- 偏微分法 (続)
- 問題演習: 問題2-1. (2変数関数の偏微分法)
- 接平面の方程式
- 偏微分係数と関数のグラフの接ベクトル
- 接平面の方程式の求め方: 例題
- 問題演習: 問題2-2. (接平面の方程式) (2) まで解説
- 2014年9月19日 (金), 9月22日 (月)
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- 多変数関数の連続性
- 連続性の定義
- 初等関数から作られる多変数関数は連続
- 連続でない2変数関数の例
- 多変数関数の微分法
- 偏微分法
- 偏微分法とは何か — 「一つの変数だけ動かして関数の増分を調べる」
- 偏微分係数、偏導関数の定義
- 問題演習: 偏微分法
次回は 問題2-1. の解説 / 演習から
- 演習問題2 (講義中問題演習用)
- 2014年9月16日 (火), 9月18日 (木)
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- 多変数関数と極限 (続)
- 近づけ方を変えると、全く異なる値に収束してしまうことがある例 (続)
- 極限が求められる場合: 極座標変換
- 2変数関数の極限: 問題演習
- 1変数関数の場合との比較: 1変数関数の極限は何故“簡単”だったか?
- 演習問題1 及び 略解 (レポート問題)
- 2014年9月12日 (金), 9月15日 (月)
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- ガイダンス，配布資料 (12日のクラスは部数が足りなかったようです。次回にも多少印刷して持って行きます)
- 1変数関数から多変数関数へ
- 多変数関数とそのグラフの例: 気温分布、平面、回転放物面
- 多変数関数と極限
- 多変数関数の定義、極限の定義
- 近づけ方を変えると、全く異なる値に収束してしまうことがあること
講義日程
1EJ・1EH・1ES科 (UNIPA も参照のこと)
9月 15日 (敬老の日 / 授業実施日), 18日, 22日, 25日, 29日
10月 2日, 6日 休講 (台風のため), 9日, 13日 (体育の日 / 授業実施日), 16日, 20日, 23日, 27日, 30日 (休校日)
11月 3日 (文化の日), 6日, 10日, 13日, 17日, 20日, 24日 (勤労感謝の日振替休日 / 授業実施日), 27日
12月 1日, 4日, 8日, 11日, 15日, 18日, 22日, 25日 (休校日), 29日 (休校日)
1月 1日 (元日), 5日 (休校日), 8日, 12日 (成人の日 / 授業実施日), 15日, 19日, (26日)
1EC・1FI科 (UNIPA も参照のこと)
9月 12日, 16日, 19日, 23日 (秋分の日 / 授業実施日), 26日, 30日
10月 3日, 7日, 10日, 14日, 17日, 21日, 24日, 28日, 31日 (休校日)
11月 4日 (文化の日), 7日, 11日, 14日, 18日, 21日, 25日, 28日
12月 2日, 5日, 9日, 12日, 16日, 19日, 23日 (天皇誕生日), 26日 (休校日), 30日 (休校日)
1月 2日 (休校日), 6日 (休校日), 9日, 13日, 20日