微分積分学および演習Ⅰ   Calculus Ⅰ

工学部・未来科学部 1年
EJ・EH・ES 科 (月曜3限・木曜4限)
EC・FI 科 (火曜4限・金曜3限)

担当: 原 隆

場所: 1EJ・1EH・1ES科 … 月曜日, 木曜日共に 2号館2703教室

講義内容 (シラバスより):
　ニュートンとライプニッツにより創始され、その後さまざまな数学者によって築かれてきた微分積分学（解析学ともいう）は自然科学の基礎であり、この300年間の科学技術の発展を支えてきた。したがって、微分積分学は諸君が工学を学んでいくために欠かせない基礎知識である。
　この講義では、高校で学んだ内容に引き続いて１変数関数の微分積分を学ぶ。
　標準クラス（週２回開講）は、高校の数学Ⅲで三角関数、指数・対数関数の微分積分を学んだ者を主な対象とする。 　

教科書: 石原繁・浅野重初著『理工系入門　微分積分』　裳華房

このページには主に講義のメモ (個人的な備忘録に近いです) 及び配布物等を掲載してゆく予定です。
更新は概ね EC・FI 科の講義 (火曜4限，金曜3限) の終了後となります。

2014年7月21日 (月), 7月22日 (火)

• 実数論入門 (続)
  • 連続関数
    • 関数の連続性の定義 — ε-δ 論法
    • 中間値の定理とその証明
    • 最大値・最小値の存在定理とその証明
• 補足プリント

2014年7月21日 (月), 7月22日 (火)

• 実数論入門 (続)
  • 極限
    • 数列の極限の定義 — ε-N 論法
    • ε-N 論法を用いた極限の収束性の例
    • 極限の性質 – 四則演算、大小関係、はさみ打ちの原理 (証明は後日プリント配布)
    • 有界単調数列の収束性とその例; ネーピアの数 e

2014年7月17日 (木), 7月18日 (金)

• 実数論入門
  • 実数の連続性
    • デデキントの切断公理: 「数直線には切れ目がない」
    • 上界，上に有界，上限の定義
    • 上限の存在定理とその証明

2014年7月14日 (月), 7月15日 (火)

• 積分法 (続)
  • 広義積分
    • 広義積分の定義と意味
    • 広義積分の計算の仕方
    • 問題演習: 問題8-2 (1) — (7)

  ※ 問題8-2. (8), (9) の略解をアップしました。下記のリンクから辿って下さい。

  ※ 学力考査の試験範囲は今日までの範囲とします (フェルマーの2平方和定理等は除く)

2014年7月10日 (木), 7月11日 (金)

• 積分法 (続)
  • 有理関数の積分: 問題8-1. (5) – (9) 解説
  • 有理関数の積分の手順

2014年7月7日 (月), 7月8日 (火)

• 積分法 (続)
  • 有理関数の積分: 問題8-1. (1) – (4) 解説
    • タイプ1: 分母が異なる1次式の積となっている場合の部分分数分解
    • タイプ2: 分母が1次式の累乗となっている場合の部分分数分解
    • タイプ3: 分母が実数根を持たない2次式を因数に持つ場合の部分分数分解
• 演習問題8および略解
  ※ 問題8-1. (4) の分子を 2x²-16x から 2x²+16x に、(6) の積分範囲の下側の x=1 を x=3 に、それぞれ訂正しておいて下さい。

2014年7月3日 (木), 7月4日 (金)

• 積分法 (続)
  • 回転体の体積 (続): 問題7-3. (4), (5) の解説
    • 「くりぬき型」の回転体の体積
    • 「y軸の周り」の回転体の体積
      • 「y 軸に対して垂直にスライスする」方法 (逆関数の利用)
      • 「バウムクーヘン分割」の利用
  • 曲線の長さ
    • 演習問題 7-4. (1)
※ 演習問題7 で解き残した問題の解答をアップしました (下記のリンクから辿って下さい)

2014年6月30日 (月), 7月1日 (火)

• 積分法 (続)
  • 図形の求積 (続)
    • 問題演習: 問題7-2. 残り
  • 回転体の体積
    • 問題演習: 問題7-3. (1) — (3)

2014年6月26日 (木), 6月27日 (金)

• 積分法 (続)
  • 定積分の計算
    • 問題演習: 問題7-1.
  • 図形の求積
    • 問題演習: 問題7-2. (1), (2) まで
• 演習問題7および略解
  ※ 問題7-4. (2) の x の範囲を -1/2 ≦ x ≦ 2 に訂正して下さい (上のリンクでは既に直してあります)。

2014年6月23日 (月), 6月24日 (火)

• 積分法 (続)
  • 部分積分法・置換積分法
    • 部分積分法と置換積分法
    • 問題演習: 問題6-2.
  ※ 問題6-2. (10), (11), (12) の略解をアップしました (下のリンクから辿って下さい)。

2014年6月19日 (木), 6月20日 (金)

• 積分法 (続)
  • 不定積分の計算
    • 不定積分の定義と不定積分の基本公式
    • 問題演習: 問題6-1.
• 演習問題6および略解

2014年6月16日 (月), 6月17日 (火)

• 積分法 (続)
  • 微分積分学の基本定理
    • 微分積分学の基本定理の意味 Ⅰ ; 「面積の増加分は微小長方形」
    • 微分積分学の基本定理の意味 Ⅱ
      • 数列の差分、和分、差和分の基本定理
      • 関数の一次近似と微分積分学の基本定理 Ⅱ'

2014年6月12日 (木), 6月13日 (金)

• 積分法
  • アルキメデスの求積法
  • 定積分の定義
    • 定積分の定義
    • 連続関数の可積分性
    • 積分不可能な関数の例: ディリクレの関数
  • 微分積分学の基本定理
    • 微分積分学の基本定理 Ⅰ, Ⅱ
        「原始関数が求まれば定積分が計算出来る」

2014年6月9日 (月), 6月10日 (火)

• 複素数と複素平面 (続)
  • フェルマーの2平方和定理とガウスの整数
    • フェルマーの2平方和定理 – 素数はいつ平方数の和で表されるか?
    • ガウスの整数とノルム
    • ガウスの単数とガウスの素数
    • 2平方和定理の証明の概略
  • フェルマーの最終定理
    • フェルマーの最終定理
    • n=2 の場合 – ピタゴラス数
    • n=4 の場合とガウスの整数
    • 「素因数分解の一意性」の崩壊 — 代数的整数論の時代へ

2014年6月5日 (木), 6月6日 (金)

• 複素数と複素平面 (続)
  • オイラーの公式とその応用
    • de Moivre の定理とその応用 — 倍角の公式
    • 複素指数関数の周期性
  • 複素平面上での掛け算・割り算
  • n 乗根
• 演習問題5および略解

2014年6月2日 (月), 6月3日 (火)

• 複素数と複素平面 (続)
  • 複素指数関数
    • 複素数列の極限と複素級数
    • 複素指数関数の羃級数としての定義
    • (複素) 指数法則とその証明
  • オイラーの公式とその応用
    • オイラーの公式
    • オイラーの等式   eiπ+1=0
    • オイラーの公式の証明

2014年5月29日 (木), 5月30日 (金)

• 複素数と複素平面
  • “数”の概念の拡張
  • 虚数単位と複素数
    • 虚数単位と複素数の定義
    • 複素数の四則演算
    • 共役複素数の定義
  • 複素平面と極形式表示
    • 複素平面の定義
    • 複素平面上での共役複素数、複素数の加減法
    • 絶対値、偏角、極形式の定義
    • 極形式表示の求め方

2014年5月26日 (月), 5月27日 (火)

• 不定形の極限
  • Cauchy の平均値の定理
  • de L'Hospital の定理
• 問題演習 — 不定形の極限
  • Maclaurin 展開を用いる方法
  • de L'Hospital の定理を用いる方法

2014年5月22日 (木), 5月23日 (金)

休講

2014年5月19日 (月), 5月20日 (火)

• 問題演習 — Taylor の定理と関数の級数展開
  • 色々な関数の Maclaurin 展開
    問題4-1. 残りの解説
  • 別解: 基本的な関数の Maclaurin 展開に帰着させる方法
  • 関数の値の近似計算

2014年5月15日 (木), 5月16日 (金)

• 問題演習 — Taylor の定理と関数の級数展開
  • 色々な関数の Maclaurin 展開
    演習問題4-1 (6) まで解説
• 演習問題4
  ※ 色々と細かい誤植が多くてすみません。ここに掲載しているプリントは誤植は全て直してあります。

2014年5月12日 (月), 5月13日 (火)

• Taylor の定理と関数の級数展開 (続)
  • Taylor の近似定理 (続)
  • 関数の Taylor 展開
  • 基本的な関数の Maclaurin 展開
  • 無限階微分可能ではあるが解析的でない関数の例

2014年5月8日 (木), 5月9日 (金)

• Taylor の定理と関数の級数展開 (続)
  • Rolle の定理 (続)
  • 平均値の定理
    • 応用: 導関数が恒等的に0ならば定数関数
  • Taylor の近似定理 (証明は次回)

2014年4月28日 (月), 4月29日 (火)

• Taylor の定理と関数の級数展開 (続)
  • 展開係数と微分係数 (続)
  • 多項式でない場合はどうなるか? — Taylor 展開への動機付け
  • 連続関数の最大値の原理 (証明は略)
  • Rolle の定理 (証明は次回)
• 演習問題3 及び 略解

2014年4月24日 (木), 4月25日 (金)

• 微分法 (続)
  • 問題演習: 逆三角関数の微分法 (続き)
  • 高階微分
    • 高階微分可能関数の定義
    • 微分可能だが2階微分不可能な関数の例
    • 基本的な関数のn階導関数

• Taylor の定理と関数の級数展開
  • 展開係数と微分係数

2014年4月21日 (月), 4月22日 (火)

• 微分法 (続)
  • 問題演習: 色々な関数の微分 (続き)
  • 微分法の重要公式 (続): 逆関数の微分法
  • 逆関数の微分法
  • 問題演習: 逆三角関数の微分法

2014年4月17日 (木), 4月18日 (金)

• 微分法 (続)
  • 1次近似としての微分法 (続)
  • 微分可能ならば連続
  • 導関数の定義
  • 基本的な関数の微分公式 (復習)
  • 微分法の重要公式: 積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法
  • 問題演習: 色々な関数の微分
• 演習問題2
  ※ 問題2-2. (3) の範囲の部分の arccos x は arcsin x の誤植でした (上のリンクでは訂正してあります)

2014年4月14日 (月), 4月15日 (火)

• 数列の極限
  • 数列の極限、級数の定義
  • 級数が収束するならば元の数列は0に収束
  • 等比級数
• 関数の極限と連続性
  • 関数の極限、連続性の定義
  • 連続でない関数の例
  • 中間値の定理
• 微分法
  • 微分係数の定義
  • 1次近似としての微分法

2014年4月10日 (木), 4月11日 (金)

• 色々な関数 (続き)
  • 逆関数
  • 逆三角関数: 逆正弦関数
  • 逆三角関数: 逆余弦関数，逆正接関数
  • 逆三角関数の値の求め方
• 演習問題1及び略解 (提出締切りは1EJEHES は4/24, 1ECFI は4/25)
  (枚数を多めに用意した筈ですが、足りなかったようですみませんでした)

2014年4月7日 (月), 4月8日 (火)

• ガイダンス，配布資料
• 集合の記号について
• 色々な関数
  • 関数の定義
  • 関数の定義域と値域
  • 合成関数
  • 単射関数と単調関数、単射であっても単調でない関数の例

講義日程

1EJ・1EH・1ES科   (UNIPA も参照のこと)

4月   7日, 10日, 14日, 17日, 21日, 24日, 28日
5月   1日 (休校日), 5日 (こどもの日), 8日, 12日, 15日, 19日, 22日 (休講), 26日, 29日
6月   2日, 5日, 9日, 12日, 16日, 19日, 23日, 26日, 30日
7月   3日, 7日, 10日, 14日, 17日, 21日 (海の日 / 授業実施日), 24日, (28日), (31日)

1EC・1FI科   (UNIPA も参照のこと)

4月   8日, 11日, 15日, 18日, 22日, 25日, 29日 (昭和の日 / 授業実施日)
5月   2日 (休校日), 6日 (振替休日), 9日, 13日, 16日, 20日, 23日 (休講), 27日, 30日
6月   3日, 6日, 10日, 13日, 17日, 20日, 24日, 27日
7月   1日, 4日, 8日, 11日, 15日, 18日, 22日, 25日, (29日), (8月1日)